提升 6 自由度机械臂的结构刚度

摘要

本文介绍了一系列设计与工程工作，旨在确保机械臂的挠度不超过 0.3 mm。研究对象为一台机器人机械臂。本研发工作的目的是优化以下机械臂部件的设计：

• 铝制支架
• 钢制 U 形支架
• 钢制「鳍」形支架

所完成工作的结果：

根据支架优化的结果，开发了精细化的机械臂电子模型，并对机械臂在电机产生的最大过载下进行了静强度计算。形成了一份设计修改建议清单。开发了优化后设计的电子模型，包括对结构的校核计算。

未能完全达到所要求的刚度指标。然而，结构刚度得到了显著提升：

• 由垂直载荷引起的位移降低了 57%
• 由沿 X 轴的水平载荷引起的位移降低了 65%
• 由沿 Z 轴的水平载荷引起的位移降低了 66%
• 由绕 X 轴的力矩引起的位移降低了 66%
• 由绕 Y 轴的力矩引起的位移降低了 76%
• 由绕 Z 轴的力矩引起的位移降低了 67%

缩写与符号

缩写	释义
TOR	技术要求
EM	电子模型
FE	有限单元
FEM	有限元模型
SSS	应力-应变状态
CG	重心
CS	坐标系

作为机械臂设计优化的初始数据，客户提供了机械臂的电子模型。在工作范围内，对设计进行了精细化处理，并对其在过载条件下的静强度进行了计算，同时制定了改进建议。

机械臂概念的形成

在工作范围内，需要对机械臂设计进行优化。根据技术要求，机械臂设计的主要要求如下：

• 结构必须能够承受由 1.1 kg 重物产生的静载荷
• 机械臂末端的挠度不应超过 0.3 mm
• 允许的质量增加：不超过 15%
• 必须保持当前每个关节 270° 的弯曲角度
• 不得增加独特（定制制造）零件的数量

机械臂主要部件说明

预期通过改变机械臂主体部分支架的形状来满足刚度要求。

机械臂总览图 1

机械臂总览图 2

如图 1 所示，机械臂设计由一个底座（图 2）、4 个钢制 U 形支架（图 3）、4 个铝制支架（图 4）、1 个钢制「鳍」形支架（图 5）以及 10 个伺服驱动器组成。

钢制 U 形支架 1

钢制 U 形支架 2

 

铝制支架 1

铝制支架 2

 

模型中的材料分布图：

钢制单元

铝制单元

构建有限元模型

图 8 — 有限元模型总览

图 9 — 模型中所使用的单元类型

由于零件的某一尺寸（厚度）<< 其他 2 个零件尺寸，决定采用平面 QUAD4 型单元对 U 形支架和「鳍」形支架进行建模。QUAD4 是一种平面 4 节点单元，每个节点具有 6 个自由度。

图 10 — 钢制 U 形支架的有限元模型

图 10 — 钢制 U 形支架的有限元模型

图 11 — 钢制「鳍」形支架的有限元模型

由于 HEX8 型实体单元比 tetra4 更精确，决定采用其对铝制支架和轴承进行建模。HEX8 是一种实体 8 节点单元，每个节点具有 3 个自由度。

图 12 — 铝制支架的有限元模型

图 12 — 铝制支架的有限元模型

螺栓建模有 4 种方法：

1. 第一种方法：使用每个节点具有 6 个自由度的梁双节点有限单元对螺栓建模，并使用 RBE2 或 RBE3 单元将其节点绑定到表面。
2. 第二种方法：在螺栓连接区域施加边界条件。
3. 第三种方法：使用 RBE2 单元对螺栓建模。
4. 第四种方法：使用六面体形式的实体八节点有限单元（每个节点具有 3 个自由度）对螺栓建模。采用此方法时，必须指定螺栓与零件之间的接触。这能够更精确地模拟螺栓连接的行为，但会使有限元模型变得复杂。

我们将采用第三种建模方法，以加快计算和优化速度。

图 14 — 伺服电机建模的有限元模型

图 15 — 替代螺栓的 RBE2 单元

应选择单元尺寸较大的表面作为主表面。同样重要的是指定 SRCHDIST 和 CLEARANCE（间隙）。第一个参数表示在多大距离内将表面视为接触，而第二个参数表示间隙。

在这些分析中，SLIDE 型接触是一种表面之间无摩擦的接触类型。还有一项附加的接触设置 N2S 或 S2S。第一种接触类型在计算性能方面最快，但对接触压力分布的呈现精度较低。第二种较为精确，但会显著减慢计算速度。

图 16 — 轴承与支架的接触相互作用

载荷工况的形成

我们将安全系数 K 定为 1.5。

垂直力的计算方式为：载荷质量 m 乘以重力加速度 g 再乘以安全系数 K：

$F_y = m cdot g cdot K = 16.18,text{N}$

$F_x = varepsilon cdot R cdot m cdot K = 6.73 text{N}$

$F_z = omega^2 cdot R cdot m cdot K = 72.49 text{N}$

$M_x = left(J_{x,mathrm{cg}} + m cdot d_1^2right) cdot K cdot varepsilon + F_y cdot l_1
= 651 text{N}cdottext{mm}$

$M_y = left(J_{y,mathrm{cg}} + m cdot d_2^2right) cdot K cdot varepsilon + F_x cdot l_2
= 635 text{N}cdottext{mm}$

$M_z = left(J_{z,mathrm{cg}} + m cdot d_3^2right) cdot K cdot varepsilon
= 133 text{N}cdottext{mm}$

符号参照表

符号	说明	计量单位
Fy	垂直力（重力）	N
Fx	水平力（切向惯性力）	N
Fz	纵向力（离心力）	N
Mx	绕 X 轴的总力矩	N·mm
My	绕 Y 轴的总力矩	N·mm
Mz	绕 Z 轴的扭矩	N·mm
m	载荷质量	t
g	重力加速度	mm/s²
K	安全系数	无量纲
ε	角加速度	rad/s²
ω	角速度	rad/s
R	从旋转轴到载荷重心的距离	mm
J_cg	载荷绕其重心的转动惯量（带下标 x、y、z）	t·mm²
d	从载荷重心到旋转轴的距离（带下标 1、2、3）	mm
l	从力作用点到旋转轴的距离（带下标 1、2）	mm

5 结果分析

分析结果如下：

载荷工况	Fx	Fy	Fz	Mx	My	Mz
最大位移（mm）	1.03	1.05	0.62	0.12	0.17	0.03
最大应力（MPa）	93	92	65	10	14	4

最大应力出现在螺栓与零件的连接节点处。鳍形件承受的应力最高。

拓扑优化方法基础（采用 SIMP 算法）

概念层面的优化是指在设计过程的初始阶段进行优化（拓扑优化或形貌优化），以获得最佳形状，并以此为基础继续推进。

优化程序本质上将设计 — 分析 — 模型反馈 — 再设计的过程自动化。这使得可以在不改变整体拓扑的情况下，根据设计准则对结构进行修改。设计优化可以基于特定尺寸、形状或任意选定形状的优化。

拓扑优化与材料分布以及结构内部各单元的连接方式相关。它将每个单元的「等效密度」或伪密度视为设计变量。

为采用 SIMP 方法求解优化问题，每个单元的材料密度在 0 到 1 的范围内连续变化，或从 $rho_{min} $ — 最小伪密度变化到 1：

$0 le rho_{min} le rho le 1$

在考虑这一条件的前提下，在求解目标函数的最小值时，材料密度会发生变化。为求解该问题，最好采用「惩罚法」，即对材料的弹性性能使用幂次表示，可表示为：

$E(rho_e) = rho_e^{p},E$

其中 E 为弹性模量，p 为「惩罚系数」，其始终大于 1；或对于单元刚度矩阵表示为：

$K(rho_e) = rho_e^{p},K$

其中 K 为单元刚度矩阵，p 为「惩罚系数」，其始终大于 1。

优化算法通过迭代过程力求确定使结构整体柔度最小化的单元密度：

$C(rho) = sum_{i=1}^{N} rho_i^{p}, mathbf{u}_i^{mathsf{T}}, mathbf{k}_i, mathbf{u}_i$

其中 u 为第 i 个单元的位移向量，k 为第 i 个单元的刚度矩阵，ρ 为相应单元的伪密度。该方程的形式为：

$K,U = F$

其中 K 为刚度矩阵，U 为位移矩阵，F 为力向量。

因此，为按照上述算法进行优化，对于每个待优化的零件，都必须创建一个 Des space — 一个扩展的几何体，将在其中搜索最优设计。

图 18 — 钢制 U 形支架的 Des space

图 19 — 铝制支架的 Des space

图 20 — 钢制「鳍」形支架的 Des space

第一个参数 — wcompliance（加权柔度）。其关系式的形式为：

$C_w = sum_{i} W_i , C_i = frac{1}{2}sum_{i} W_i , mathbf{u}_i^{mathsf{T}} , mathbf{f}_i$

第二个参数 — 给定设计空间内的质量。该参数为我们提供设计区域的质量。它可以针对整个结构定义，也可以针对单个属性（组件）和材料，或针对属性（组件）和材料的分组进行定义。

除目标函数（即降低柔度）之外，还必须指定约束。 dconstrain 是求解器不应违反的约束。在计算中，质量与前一零件质量的差异不应超过 15%。这意味着每个设计区域的质量约束将各不相同。在该程序中，还可以指定对体积、相对体积或相对质量的约束。相对质量与相对体积的区别在于，相对质量在计算中包含整个模型的质量，而体积分数仅考虑设计区域。

为找到最优形状，必须创建一个目标函数。该函数即我们必须找到的极值。此处指定各种系统响应（位移、扭转角、应力等）。在本例中，我们指定 wcompliance 作为程序将要搜索其最小值的函数。

然后我们设置附加的优化约束。除质量之外的附加约束还包括 最大允许应力 150 MPa。该参数应低于材料的屈服强度，因为当达到屈服强度时，零件将发生塑性变形，可能导致非常严重的后果。应当理解，应力约束值将与按照 von Mises 理论计算的单元中的应力进行比较。

OptiStruct 提供了几种不同的方法，以在执行拓扑优化时考虑可制造性：

mindim — 控制在搜索拓扑时应保留的最小尺寸，同时最大限度地减少网格所产生的棋盘格效应，并提供更为离散的设计。由于优化要求单元取 1 或 0 的离散值，该约束通常通过消除原本可能形成的中间单元来提高设计的清晰度。

draw direction — 在铸造或铣削过程中，无法形成那些不开放且未沿模具滑动方向对齐的型腔。拓扑优化所得出的设计往往包含不适合铸造或铣削的型腔。将这样的设计方案转化为可制造的设计可能极为困难，甚至无法实现。

OptiStruct 允许设置 draw direction 约束，从而使某一拓扑允许模具沿给定方向滑动。

提供两种拔模选项：

• The “SINGLE” 选项假定将使用一个模具，沿给定的拔模方向运动。被铸零件的底面是模具预先定义的工作部分。
• The “SPLIT” 选项意味着将使用两个模具来铸造该 DTPL 卡片中所描述的零件，并沿给定的拔模方向分离。

在使用「SINGLE」拔模选项时，制造冲压件或钣金件时可能会受到约束。该参数加速了可解释为 3D 壳体、3D 设计区域的结构的演化。这使得能够从 3D 设计区域设计出 2D 壳体或冲压件，从而提供更大的设计灵活性。

零件不仅可以包含设计区域，还可以包含非设计区域。这些非设计区域必须被定义为该工艺的障碍。这样可以保留铸造最终设计的能力。还需注意，配合 draw direction 约束使用时存在默认的最小单元尺寸。该值定义为相应组件平均网格尺寸的三倍。因此，应选择模型的网格密度和所需的体积分数，使其有足够的材料来填充默认最小尺寸的单元。用户可以为每个结构部件指定所需的最小单元尺寸。

Pattern repetition — 是一种允许以特定方式连接各结构组件以形成相似拓扑图样的技术。

Pattern grouping — 关联变量以形成所需的结构形状。线性、平面、圆形、径向等。成形的结构单元由各个变量控制，从而确保设计与所需图样相符。单平面、双平面、三平面以及循环对称的 pattern grouping 选项也采用类似的方法，以确保在解中产生对称性。

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	A	B	C	D	E	F	G	H	I
材料	钢	钢	钢	钢	钢	钢	钢	钢	钢
厚度	8	6	5	4	3	6	15	8	6
载荷数量	6	6	6	6	6	2	1	1	1

从所获得的优化图样可以看出，支架的 YZ 平面负责机械臂绕 X 轴的弯曲刚度。建议将此壁的厚度增加到 6 mm；该部分对沿 Y 轴的刚度贡献最大。支架的 XZ 平面负责绕 Y 轴的弯曲，该平面可制成 3 mm 厚。具体轮廓及其勾勒的选择完全取决于工程师。红色区域是受载最严重的区域，而黄绿色边界表示可选区域，是否将其纳入由工程师决定。

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	A	B	C	D	E	F	G
材料	钢	钢	钢	钢	钢	钢	钢
厚度	8	6	5	3
载荷数量	6	6	6	1	1	1	1

从所获得的钢制 U 形支架优化图样可以看出，中央孔不受载。同时建议扩大支架底座并将厚度增加到 6 mm。

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	A	B	C	D	E	F	G	H	I
材料	铝	铝	铝	铝	铝	铝	钢	钢	钢
对称性	yes	yes	yes	yes	yes	yes	no	yes	yes
载荷数量	6	6	6	6	2	2	1	1	1

从所获得的优化图样可以看出，由于质量过小，无法将铝制支架替换为钢制支架。大多数优化图样表明，最好将质量沿壁分布。对此有一个解释。由于机械臂承受弯曲作用，优化器力求获得最优的弯曲截面形状，即工字梁。因为中央部分受载不足，而最外侧部分对刚度的贡献最大。

 

图 25 — 弯曲刚度最高的截面

校核分析

图 26 — 优化后结构的有限元模型

载荷工况	Fx	Fy	Fz	Mx	My	Mz
最大位移（mm）	0.41	0.31	0.21	0.04	0.05	0.01
最大应力（MPa）	18	25	24	5	5	1

最大应力出现在螺栓与零件的连接节点处。

参数	原始设计	优化后设计
质量	1.937 kg	2.376 kg
最大应力	93 MPa	25 MPa
由 Fy 引起的挠度	1.05 mm	0.41 mm
由 Fx 引起的挠度	1.03 mm	0.31 mm
由 Fz 引起的挠度	0.62 mm	0.21 mm
由 Mx 引起的挠度	0.12 mm	0.04 mm
由 My 引起的挠度	0.17 mm	0.05 mm
由 Mz 引起的挠度	0.03 mm	0.01 mm

结论

未能达到目标指标：尽管有显著改善，机械臂末端的最终挠度（最大位移 0.41 mm）仍超过了技术要求所规定的值（不超过 0.3 mm）。因此，技术规范的主要要求未能完全满足。

1. 提高允许的质量，超出当前 15% 的约束
2. 增加非相同结构单元的数量，使从机械臂安装底座起的每个后续结构单元更轻
3. 将铝制支架替换为钢制支架 — 由于铝的弹性模量为 70 GPa，而钢为 200 GPa，在相同载荷下这将使零件的刚度提高 2.5 倍
4. 考虑替代材料，其弹性模量高于铝且密度低于钢
5. 将质心尽可能靠近底座，以减小转动惯量

For the steel U-shaped bracket: 建议扩大底座，并将负责弯曲刚度的壁厚增加到 6 mm。

For the aluminum bracket: 优化器表明了将质量沿壁分布、力求工字梁形状的合理性。

For the steel “fin” bracket: 建议将竖直壁的厚度增加到 6 mm。底座可保持 3 mm，或增加到 6 mm 厚。