Aumentando la rigidez estructural del manipulador de 6 GDL

Resumen

Este artículo presenta un conjunto de trabajos de diseño e ingeniería para garantizar que la deflexión del manipulador no supere los 0,3 mm. El objeto de estudio es un manipulador robótico. El objetivo de la I+D es optimizar el diseño de los siguientes componentes del manipulador:

• Soporte de aluminio
• Soporte de acero en forma de U
• Soporte de acero «aleta»

Resultados del trabajo realizado:

A partir de los resultados de la optimización de los soportes se desarrolló un modelo electrónico refinado del manipulador, y se calculó la resistencia estática del manipulador bajo la sobrecarga máxima de los motores. Se elaboró una lista de propuestas de modificaciones de diseño. Se desarrolló un modelo electrónico del diseño optimizado, incluidos los cálculos de verificación de la estructura.

No se logró alcanzar plenamente la rigidez requerida. No obstante, la rigidez estructural aumentó de forma significativa:

• El desplazamiento por carga vertical disminuyó un 57%
• El desplazamiento por carga horizontal en el eje X disminuyó un 65%
• El desplazamiento por carga horizontal en el eje Z disminuyó un 66%
• El desplazamiento por el momento respecto al eje X disminuyó un 66%
• El desplazamiento por el momento respecto al eje Y disminuyó un 76%
• El desplazamiento por el momento respecto al eje Z disminuyó un 67%

Abreviaturas y designaciones

Como datos iniciales para optimizar el diseño del manipulador, el Cliente proporcionó un ME del manipulador. En el marco del trabajo se refinó el diseño y se calculó su resistencia estática en condiciones de sobrecarga, y se desarrollaron recomendaciones de mejora.

Formación del concepto del manipulador

En el marco del trabajo se requería optimizar el diseño del manipulador. Según los requisitos técnicos, los principales requisitos para el diseño del manipulador son los siguientes:

• La estructura debe soportar una carga estática de un peso de 1,1 kg
• La deflexión del extremo del manipulador no debe superar los 0,3 mm
• Aumento de masa admisible: no más del 15%
• Es necesario mantener los ángulos de flexión actuales, iguales a 270° por articulación
• No aumentar el número de piezas únicas (fabricadas a medida)

Descripción de los elementos principales del manipulador

Se prevé cumplir el requisito de rigidez modificando la forma de los soportes en la parte principal del manipulador.

Vista general del manipulador 1

Vista general del manipulador 2

Como se aprecia en la Figura 1, el diseño del manipulador consta de un soporte base (Figura 2), 4 soportes de acero en forma de U (Figura 3), 4 soportes de aluminio (Figura 4), 1 soporte de acero «aleta» (Figura 5) y 10 servoaccionamientos.

Vista general del soporte base

Soporte de acero en forma de U 1

Soporte de acero en forma de U 2

Soporte de aluminio 1

Soporte de aluminio 2

Soporte de acero «aleta»

Mapa de distribución de materiales en el modelo:

Elementos de acero

Elementos de aluminio

Construcción del modelo de elementos finitos

Figura 8 — vista general del modelo de elementos finitos

Figura 9 — tipos de elementos utilizados en el modelo

Se decidió modelar el soporte en forma de U y el soporte «aleta» con elementos planos de tipo QUAD4, ya que una de las dimensiones de la pieza (el espesor) es mucho menor que las otras 2 dimensiones. QUAD4 es un elemento plano de 4 nodos con 6 grados de libertad por nodo.

Figura 10 — MEF del soporte de acero en forma de U

Figura 10 — MEF del soporte de acero en forma de U

Figura 11 — MEF del soporte de acero «aleta»

Se decidió modelar el soporte de aluminio y el rodamiento con elementos sólidos de tipo HEX8, ya que son más precisos que tetra4. HEX8 es un elemento sólido de 8 nodos con 3 grados de libertad por nodo.

Figura 12 — MEF del soporte de aluminio

Figura 12 — MEF del soporte de aluminio

Hay 4 formas de modelar los pernos:

1. Primera forma: modelar los pernos mediante un elemento finito de viga de dos nodos con 6 grados de libertad en cada nodo y vincular sus nodos a la superficie con elementos RBE2 o RBE3.
2. Segunda forma: condiciones de contorno en la zona de fijación del perno.
3. Tercera forma: modelar los pernos con un elemento RBE2.
4. Cuarta forma: modelar el perno mediante un elemento finito sólido de ocho nodos en forma de hexaedro con 3 grados de libertad en cada nodo. Para este método es necesario definir contactos entre el perno y la pieza. Esto permite modelar con mayor precisión el comportamiento de la unión atornillada, pero complica el MEF.

Utilizaremos la tercera forma de modelado para acelerar el cálculo y la optimización.

Figura 14 — MEF del modelado del servomotor

Figura 15 — elementos RBE2 que sustituyen los pernos

Como superficie maestra se debe elegir la que tenga el mayor tamaño de elemento. También es importante definir SRCHDIST y CLEARANCE (holgura). El primer parámetro indica a qué distancia considerar las superficies en contacto, mientras que el segundo indica la holgura.

En estos cálculos, el contacto de tipo SLIDE es un tipo de contacto sin fricción entre las superficies. Existe un ajuste de contacto adicional, N2S o S2S. El primer tipo es el más rápido en cuanto a coste computacional, pero ofrece con menor precisión la imagen de la presión de contacto. El segundo es preciso, pero ralentiza considerablemente el cálculo.

Figura 16 — interacción de contacto de los rodamientos y el soporte

Formación de los casos de carga

Definamos el factor de seguridad K como 1,5.

La fuerza vertical se calcula como la masa de la carga m multiplicada por la aceleración de la gravedad g y por el factor de seguridad K:

$F_y = m cdot g cdot K = 16.18,text{N}$

$F_x = varepsilon cdot R cdot m cdot K = 6.73 text{N}$

$F_z = omega^2 cdot R cdot m cdot K = 72.49 text{N}$

$M_x = left(J_{x,mathrm{cg}} + m cdot d_1^2right) cdot K cdot varepsilon + F_y cdot l_1
= 651 text{N}cdottext{mm}$

$M_y = left(J_{y,mathrm{cg}} + m cdot d_2^2right) cdot K cdot varepsilon + F_x cdot l_2
= 635 text{N}cdottext{mm}$

$M_z = left(J_{z,mathrm{cg}} + m cdot d_3^2right) cdot K cdot varepsilon
= 133 text{N}cdottext{mm}$

Tabla de símbolos

5 Análisis de resultados

Los resultados del cálculo fueron los siguientes:

Figura 17 — ubicación de las zonas más cargadas, caso de carga y tensiones que se producen en esas zonas

Las tensiones máximas se producen en los nodos de fijación de los pernos a las piezas. La «aleta» es la que soporta la mayor tensión.

Fundamentos del método de optimización topológica (mediante el algoritmo SIMP)

La optimización a nivel conceptual consiste en realizar la optimización (ya sea de topología o de topografía) en la etapa inicial del proceso de diseño para crear la mejor forma a partir de la cual avanzar.

El programa de optimización, en esencia, automatiza el proceso de diseño — análisis — retroalimentación del modelo — rediseño. Esto permite introducir cambios en la estructura según criterios de diseño sin modificar la topología general. La optimización del diseño puede basarse en la optimización de dimensiones concretas, de la forma o de una forma elegida arbitrariamente.

La optimización topológica está relacionada con la distribución del material y con la forma en que se conectan los elementos dentro de la estructura. Considera la «densidad equivalente», o pseudodensidad, de cada elemento como una variable de diseño.

Para resolver el problema de optimización mediante el método SIMP, la densidad del material de cada elemento varía de forma continua en el rango de 0 a 1, o de $rho_{min} $ — pseudodensidad mínima — a 1:

$0 le rho_{min} le rho le 1$

Teniendo en cuenta esta condición, al buscar el mínimo de la función objetivo se varía la densidad del material. Para resolver el problema es preferible utilizar el «método de penalización» con una representación potencial de las propiedades elásticas del material, que puede expresarse como:

$E(rho_e) = rho_e^{p},E$

donde E es el módulo de elasticidad y p es el «coeficiente de penalización», que siempre es mayor que 1, o para la matriz de rigidez del elemento como:

$K(rho_e) = rho_e^{p},K$

donde K es la matriz de rigidez del elemento y p es el «coeficiente de penalización», que siempre es mayor que 1.

El algoritmo de optimización, mediante un proceso iterativo, busca determinar las densidades de los elementos que minimizan la flexibilidad global de la estructura:

$C(rho) = sum_{i=1}^{N} rho_i^{p}, mathbf{u}_i^{mathsf{T}}, mathbf{k}_i, mathbf{u}_i$

donde u es el vector de desplazamientos del i-ésimo elemento, k es la matriz de rigidez del i-ésimo elemento y ρ es la pseudodensidad del elemento correspondiente. La ecuación tiene la forma:

$K,U = F$

donde K es la matriz de rigidez, U es la matriz de desplazamientos y F es el vector de fuerzas.

Por ello, para la optimización según el algoritmo anterior, para cada pieza optimizada es necesario crear un Des space — una geometría ampliada en la que se realizará la búsqueda del diseño óptimo.

Figura 18 — Des space del soporte de acero en forma de U

Figura 19 — Des space del soporte de aluminio

Figura 20 — Des space del soporte de acero «aleta»

Primer parámetro — wcompliance (flexibilidad ponderada). La relación tiene la forma:

$C_w = sum_{i} W_i , C_i = frac{1}{2}sum_{i} W_i , mathbf{u}_i^{mathsf{T}} , mathbf{f}_i$

Segundo parámetro — masa en el espacio de diseño dado. Este parámetro nos da la masa de la zona de diseño. Puede definirse para toda la estructura, así como para propiedades (componentes) y materiales individuales, o para grupos de propiedades (componentes) y materiales.

Además de la función objetivo (es decir, reducir la flexibilidad), es necesario definir restricciones. dconstrain es una restricción que el solver no debe infringir. En los cálculos, la masa no debe diferir de la masa de la pieza anterior en más del 15%. Esto significa que la restricción de masa para cada zona de diseño será distinta. En este programa también se puede definir una restricción sobre el volumen, el volumen relativo o la masa relativa. La diferencia entre la masa relativa y el volumen relativo es que la masa relativa incluye en el cálculo la masa de todo el modelo, mientras que la fracción de volumen solo tiene en cuenta la zona de diseño.

Para encontrar la forma más óptima es necesario crear una función objetivo. Esta función es el extremo que debemos hallar. Aquí se especifican diversas respuestas del sistema (desplazamiento, ángulo de torsión, tensiones, etc.). En este caso especificamos wcompliance como la función cuyo mínimo buscará el programa.

A continuación, establecemos restricciones de optimización adicionales. Además de la masa, otra restricción adicional será la tensión máxima admisible de 150 MPa. Este parámetro debe ser inferior al límite elástico del material, porque al alcanzarse el límite elástico la pieza se deforma plásticamente, lo que puede tener consecuencias muy graves. Hay que entender que el valor de la restricción de tensión se comparará con la tensión del elemento según la teoría de von Mises.

OptiStruct ofrece varios métodos distintos para tener en cuenta la fabricabilidad al realizar la optimización topológica:

mindim — controla el tamaño más pequeño que debe conservarse al buscar la topología, y además minimiza el efecto de «tablero de ajedrez» creado por la malla y proporciona un diseño más discreto. Dado que la optimización requiere un valor discreto de 1 o 0 para los elementos, esta restricción suele mejorar la claridad del diseño al eliminar los elementos intermedios que de otro modo podrían formarse.

draw direction — en el proceso de fundición o fresado es imposible crear cavidades que no estén abiertas ni orientadas en la dirección de desplazamiento del molde. Los diseños resultantes de la optimización topológica suelen contener cavidades no aptas para la fundición o el fresado. Convertir una solución de diseño así en un diseño fabricable puede ser extremadamente difícil, si no imposible.

OptiStruct permite establecer restricciones de dirección de extracción para que una determinada topología admita el desplazamiento del molde en una dirección dada.

Hay disponibles dos opciones de extracción:

• The “SINGLE” supone que se utilizará un único molde, que se mueve en una dirección de extracción dada. La superficie inferior de la pieza que se funde es una parte de trabajo predefinida del molde.
• The “SPLIT” implica que se utilizarán dos moldes para fundir la pieza descrita en esta tarjeta DTPL, que se separan en una dirección de extracción dada.

Figura 21 — diferencia entre draw single y draw split

Al usar la opción de extracción «SINGLE» pueden surgir restricciones al fabricar por estampación o con chapa metálica. Este parámetro acelera la evolución de una estructura interpretable como una cáscara 3D, una zona de diseño 3D. Esto permite diseñar cáscaras 2D o piezas estampadas a partir de una zona de diseño 3D, proporcionando mayor flexibilidad de diseño.

La pieza puede contener no solo una zona de diseño, sino también una zona no de diseño. Estas zonas no de diseño deben definirse como obstáculos para el proceso. Esto conserva la posibilidad de fundir el diseño final. Cabe señalar también que para las restricciones de dirección de extracción existe un tamaño mínimo de elemento por defecto. Este valor se define como tres veces el tamaño medio de celda de los componentes correspondientes. Así pues, la densidad de malla del modelo y la fracción de volumen requerida deben elegirse de modo que haya material suficiente para rellenar los elementos del tamaño mínimo por defecto. El usuario puede especificar el tamaño mínimo de elemento deseado para cada parte de la estructura.

Pattern repetition — es una técnica que permite conectar diversos componentes estructurales de manera que se creen patrones topológicos similares.

Pattern grouping — vinculación de variables para que se formen las formas estructurales deseadas. Lineales, planas, circulares, radiales, etc. Los elementos estructurales conformados se controlan mediante variables individuales, lo que garantiza que el diseño coincida con el patrón deseado. Las opciones de agrupación de patrones por un plano, dos planos, tres planos y simetría cíclica también utilizan un enfoque similar para garantizar que se cree simetría en la solución.

Resultados de la optimización del soporte de acero «aleta»

Figura 22 — variantes de optimización obtenidas para la «aleta»

 

Como se aprecia en los patrones de optimización obtenidos, el plano YZ del soporte es responsable de la rigidez a flexión del manipulador respecto al eje X. Se recomienda aumentar el espesor de esta pared hasta 6 mm; esta parte es la que más contribuye a la rigidez en el eje Y. El plano XZ del soporte es responsable de la flexión respecto al eje Y, y este plano puede hacerse de 3 mm de espesor. La elección del contorno concreto y de su trazado depende únicamente del ingeniero. Las zonas rojas son las más cargadas, mientras que el borde amarillo-verdoso representa zonas opcionales, y el ingeniero decide si incluirlas o no.

Resultados de la optimización del soporte de acero en forma de U

Figura 23 — variantes de optimización obtenidas para el soporte de acero en forma de U

 

Como se aprecia en los patrones de optimización obtenidos del soporte de acero en forma de U, el orificio central no está cargado. También se recomienda ampliar la base del soporte y aumentar el espesor hasta 6 mm.

Resultados de la optimización del soporte de aluminio

Figura 24 — variantes de optimización obtenidas para el soporte de aluminio

 

Como se aprecia en los patrones de optimización obtenidos, no es posible sustituir el soporte de aluminio por uno de acero debido a su masa demasiado pequeña. La mayoría de los patrones de optimización muestran que lo mejor es distribuir la masa a lo largo de las paredes. Esto tiene una explicación. Dado que el manipulador trabaja a flexión, el optimizador busca la forma de sección transversal más óptima para la flexión, es decir, una viga en doble T. Puesto que la parte central está poco cargada y son las partes más exteriores las que más contribuyen a la rigidez.

Figura 25 — la sección transversal más rígida a flexión

Figura 25 — la sección transversal más rígida a flexión

Cálculo de verificación

Figura 26 — MEF de la estructura optimizada

Figura 27 — resultados de cálculo obtenidos de la estructura optimizada

Las tensiones máximas se producen en los nodos de fijación de los pernos a las piezas.

Figura 28 — versión final del manipulador con mayor rigidez estructural

Conclusiones

No se alcanzó el indicador objetivo: a pesar de la mejora significativa, la deflexión final del extremo del manipulador (desplazamiento máximo de 0,41 mm) superó el valor exigido por los requisitos técnicos (no más de 0,3 mm). Así pues, no se pudo cumplir plenamente el requisito principal de las especificaciones técnicas.

1. Aumentar la masa admisible por encima de la restricción actual del 15%
2. Aumentar el número de elementos estructurales no idénticos, haciendo más ligero cada elemento estructural sucesivo a partir de la base de montaje del manipulador
3. Sustituir los soportes de aluminio por unos de acero — dado que el aluminio tiene un módulo de elasticidad de 70 GPa y el acero de 200 GPa, esto aumentará la rigidez de la pieza 2,5 veces bajo la misma carga
4. Considerar materiales alternativos con un módulo de elasticidad mayor que el del aluminio y una densidad menor que la del acero
5. Desplazar el centro de masas lo más cerca posible de la base para reducir los momentos de inercia

For the steel U-shaped bracket: Se recomienda ampliar la base y aumentar hasta 6 mm el espesor de la pared responsable de la rigidez a flexión.

For the aluminum bracket: El optimizador mostró la conveniencia de distribuir la masa a lo largo de las paredes, buscando una forma de viga en doble T.

For the steel “fin” bracket: Se recomienda aumentar el espesor de la pared vertical hasta 6 mm. La base puede dejarse en 3 mm o aumentarse hasta un espesor de 6 mm.